Einsteinin summaussääntö

Einsteinin summaussääntö eli Einsteinin merkintä on Albert Einsteinin vuonna 1916 esittelemä lyhennysmerkintä, jota käytetään erityisesti tensoreiden yhteydessä.

Einsteinin summaussääntö on periaatteessa yksinkertainen. Lauseke

$u=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+\ldots +a_{n}x_{n}$,

joka tavallisesti kirjoitetaan summausmerkintää käyttäen

$u=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$,

voidaan kirjoittaa hyvin kompaktiin muotoon

$u=a_{i}x^{i}\,$.

Einsteinin merkinnässä siis yksinkertaisesti jätetään koko summaus kirjoittamatta näkyviin samalla myös summausindeksi. Yllä olevissa lausekkeissa indeksi $\scriptstyle i$ käy läpi kaikki sille kulloinkin sallitut arvot. Jos lauseke sisältää useita indeksejä, summaus tapahtuu aina toistetun indeksin yli. Etenkin suhteellisuusteoriassa on yleisesti vakiintunut tavaksi merkitä summausindeksi latinalaisella kirjaimella silloin, jos summausindeksi käy läpi arvot 1, 2 ja 3 (aika-avaruuden avaruusosa) ja kreikkalaisella kirjaimella silloin, kun summausindeksi saa arvot 0, 1, 2 ja 3 (eli myös aikakoordinaatti otetaan mukaan).

Usein edellytetään, että summauksessa toisen indeksin on oltava ylhäällä ja toisen alhaalla (kontra- ja kovariantit indeksit). Tällöin jommankumman vektorin indeksi on yleensä nostettava tai laskettava metrisen tensorin avulla. Näin on esimerkiksi juuri suhteellisuusteoriassa, jossa avaruus ei yleisesti ottaen ole laakea ja jossa siksi $\scriptstyle a^{\mu }\,$ ja $\scriptstyle a_{\mu }\,$ ovat yleensä eri vektoreita.

Einsteinin merkintää käyttäessä tulee usein vastaan kaksi hyvin käytännöllistä merkintää: Kroneckerin symboli eli Kroneckerin delta

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{kun }}i=j\\0&{\mbox{kun }}i\neq j\end{matrix}}\right.$

ja Levi-Civitan (tensori)tiheys

$\epsilon _{ijk}=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{ jos }}(i,j,k){\mbox{ on }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ tai }}(3,1,2)\\-1&{\mbox{ jos }}(i,j,k){\mbox{ on }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ tai }}(2,1,3)\\0&{\mbox{muulloin eli }}i=j{\mbox{ tai }}j=k{\mbox{ tai }}k=i\end{matrix}}\right.$

Esimerkkejä

Kahden (3-avaruuden) vektorin pistetulo

${\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

voidaan kirjoittaa Einsteinin merkintää käyttäen kompaktisti

$a_{\alpha }b^{\alpha }\,$.

Vektoreiden ristitulo tiivistyy vielä kompaktimpaan muotoon

$({\textbf {a}}\times {\textbf {b}})_{k}=\epsilon _{ijk}a^{i}b^{j}$.